咕咕咕 ing。
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斜抛运动的水很深。
——2025 奥赛金牌榜第一 烈火
一、试试另一种分解？
众所周知，在 easy 题中，我们常将运动按 水平、竖直 方向做分解。
但这不是我们今天讨论的主题。
不妨换种思路，我们令直角坐标系的 $x、y$ 轴分别指向 沿斜面向上/下 和 垂直于斜面向上，此时 $x、y$ 方向的分运动方程如下（令 $\theta$ 为 $v_0$ 与 斜面的夹角，$\phi$ 为斜面与水平面的夹角）：
$v_x = v_0\cos\theta \pm (g\sin\phi)t$
$v_y = v_0\cos\theta - (g\cos\phi)t$
$x = (v_0\cos\theta)t \pm \frac{1}{2}(g\sin\phi)t^2$
$y = (v0\sin\theta)t - \frac{1}{2}(g\cos\phi)t^2$
二、斜面上斜抛二级结论
【数据删除】
此处应有一张图，但笔者懒得画。
反正就是令 $\alpha$ 为 $v_0$ 与 斜面的夹角，$\theta$ 为斜面与水平面的夹角
1.从斜面上斜抛几个物体，它们的初速度平行，则落回斜面的末速度也平行。
证明需要用到 一 的方法。
我们沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，把速度和加速度沿坐标系分解。
$x$ 方向：初速度为 $v_0\cos\alpha$，加速度为 $-g\sin\theta$
$y$ 方向：初速度为 $v_0\sin\alpha$，加速度为 $-g\cos\theta$
瞪眼发现 $x、y$ 方向均做类竖直上抛运动，落回斜面的时间为 $t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\theta}$
则 $\frac{v_x}{v_y} = \frac{v_0(\cos\alpha - g\sin\theta \times \frac{2\sin\alpha}{g\cos\theta})}{v_0(\sin\alpha - g\cos\theta \times \frac{2\sin\alpha}{g\cos\theta})}$
省流：远看是一坨，近看是一大坨。
但是没关系，我们发现 $v_0$ 约掉了，也就是说分速度比值为常数，与 $v_0$ 无关，证毕。
2.求斜面上的最远射程
法一：
仍是需要用到 一 的方法。
从 一 中得到的运动方程中，取 $y = 0$ 时的 $x$ 值，得到 $L = \frac{2v_0^2\cos(\alpha + \theta)\sin\alpha}{g\cos^2\theta}$
对其含有 $\alpha$ 的因子 $\cos(\alpha + \theta)\sin\alpha$ 运用积化和差，得到：
$\cos(\alpha + \theta)\sin\alpha = \frac{\sin(2\alpha + \theta) - \sin\theta}{2}$
显然，$2\alpha + \theta = \frac{\pi}{2}$，即 $\alpha_M = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$ 时，$S_M = \frac{v_0^2}{g} \times \frac{1 - \sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{v_0^2}{g(1 + \sin\theta)}$
法二：
我们有 $\frac{\frac{1}{2}gt ^ 2}{\sin(\alpha + \theta)} = \frac{v_0t}{\cos\theta} = \frac{L}{cos\alpha}$
则 $t = \frac{2v_0\sin(\alpha + \theta)}{g\cos\theta}$
$L = v_0t\frac{\cos\alpha}{\cos\theta}$
未完待续（
法三：